题目

对于实数x，[x]称为取整函数或高斯函数，亦即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2.3]．直角坐标平面内，若（x，y）满足[x-1]²+[y-1]²=4，则 x²+y²的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-02-26

答案

由[x-1]²+[y-1]²=4，得

[x-1]=±2 [y-1]=0

 或

[x-1]=0 [y-1]=±2

即

-2≤x-1＜-1或2≤x-1＜3 0≤y-1＜1

或

0≤x-1＜1 -2≤y-1＜-1或2≤y-1＜3

表示的可行域如图，且关于y=x对称．
x²+y²看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO²=1，BO²=5此时x²+y²∈[1，5）．CO²=10，DO²=20，
此时x²+y^2_∈[10，20）．
所以 x²+y^2_∈[1，5）∪[10，20）．
故答案为：[1，5）∪[10，20）．

先根据[x]的意义，得出x，y满足

−2≤x−1＜−1或2≤x−1＜3 0≤y−1＜1

或

0≤x−1＜1 −2≤y−1＜−1或2≤y−1＜3

，在平面直角坐标系内画出可行域，再将x²+y²看作可行域内点到坐标原点距离的平方，考察出最值情况，求出范围．

本题考点：两点间距离公式的应用．

考点点评：本题考查取整函数的意义，数形结合的思想方法，考查了阅读理解、转化、计算能力．