题目

已知Fx=x^2+alnx,当a=-2时,求Fx的单调增区间.若Gx=fx+2/x在【1,+$）上为单调函数,求a范围.

提问时间：2021-02-26

答案

求导就可以了,导函数大于0为增区间,导函数小于0为减区间.
F‘=2x-2/x=(2x^2-2)/x=2(x^2-1)/x 因为x的取值范围为（0,正无穷） （因为lnx中x大于0）
若x^2-1>0,则x>1,所以增区间为（1,正无穷）
由题易知：Gx=x^2+alnx+2/x
G’x=2x + a/x - 2/x^2 因为在[1,正无穷）为单调增函数,所以G‘x在该定义域区间内恒大于0
所以2x + a/x - 2/x^2 恒大于0.(2x + a/x - 2/x^2 >=0)
所以a恒大于-2（1+x^3）/x 即 a>=2（1-x^3）/x x属于[1,正无穷)
记Hx=2（1-x^3）/x x属于[1,正无穷)
所以a大于等于Hx的最大值,因为在定义域内,Hx为单调减函数
所以max（Hx）=H（1）=0
所以a>=0 (经检验a=0带入原函数符合)