题目

一道解析几何证明
一个椭圆
一条切线l与它交于P点
左焦点F1关于l的对称点为F'
证明右焦点F2 P F'
三点共线

提问时间：2021-02-26

答案

以两焦点连线为x轴,两焦点垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
椭圆方程为x²/a² + y²/b² =1 (a>b>0) ,焦距为2c (c>0)
则左焦点F1坐标(-c,0),右焦点F2坐标(c,0)
设切点P坐标为(acosθ,bsinθ),直线PF1与I成角α,直线PF2与I成角β,直线PF’与I成角γ,由F’与F1对称可知,α=γ
对椭圆方程x²/a² + y²/b² =1两边求导得：
2x/a² + 2yy’/b² =0 ∴y’=- (b²/a²) *(x/y)
代入P点坐标可得切线I斜率k=- (b/a)ctgθ
直线PF1斜率k’=bsinθ/(acosθ+c)
直线PF2斜率k’’=bsinθ/(acosθ-c)
tanα=(k’-k)/(1+k’k)
=[bsinθ/(acosθ+c) + (b/a)ctgθ]/[1- (b/a)ctgθbsinθ/(acosθ+c)]
=(absin²θ+abcos²θ+bccosθ)/(a²sinθcosθ+acsinθ-b²sinθcosθ)
=(ab+bccosθ)/(acsinθ+c²sinθcosθ)
=b(a+ccosθ)/[csinθ(a+ccosθ)]
= b/(csinθ)
tanβ=(k-k’’)/(1+kk’’)
= [- (b/a)ctgθ- bsinθ/(acosθ-c)]/[ 1- (b/a)ctgθbsinθ/(acosθ-c]
=-(abcos²θ-bccosθ+ absin²θ)/( a²sinθcosθ-acsinθ-b²sinθcosθ)
=(ab-bccosθ)/(acsinθ-c²sinθcosθ)
=b(a-ccosθ)/[csinθ(a-ccosθ)]
= b/(csinθ)
∴β=α=γ,即F’、P、F2三点共线