题目

在平面直角坐标系XOY中直线L：ax+by+c=0与园x^2=y^2=4交与AB（1）填空并证明：如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA

提问时间：2021-02-26

答案

在平面直角坐标系XOY中直线L：ax+by+c=0与园x²=y²=4交与AB（1）填空并证明：如果a²+b²=c²,那么向量OA乘以向量OB=()是真命题（2）写出1中命题的逆命题并证明真假.
解法1：
(1)
设A(X1,Y1)B(X2,Y2)
将直线公式代入圆的方程中整理得：
x2+(ax+c)2/b2=4
再整理得：
(1+a2/b2)x2+2ac/b2x+c2/b2=4
韦大定理得：
x1*x2=1
x1+x2=-2a/c
向量OA乘OB得：
x1x2+y1y2=x1x2+(-ax1-c)/b*(-ax2-c)/b=1+1=2
(2)若向量OA与向量OB相乘为2,那么a²+b²=c²
设A(X1,Y1)B(X2,Y2) 即
x1x2+y1y2=2
把直线方程带入圆形方程中,
整理得同(1)中(1+a2/b2)x2+2ac/b2x+c2/b2=4
韦大定理得:
x1*x2=1
x1+x2=-2a/c
y1y2=(-ax1-c)/b*(-ax2-c)/b=1
整理得:
(c²-a²)/b²=1
所以a²+b²=c²
解法2：
原点到直线距离d=∣c∣/√(a^2+b^2)=1
半径为√2,
所以△ABO是等腰直角三角形,OA⊥OB
向量OA乘以向量OB=0
逆命题,如果向量OA乘以向量OB=0,那么a²+b²=c²OA⊥OB
∴△ABO是等腰直角三角形
∴原点到直线距离d=∣c∣/√(a²+b²)=1
∴a²+b²=c²
解法3：
(1)“向量OA×向量OB=-2“等价于“向量OA的模长×向量OB的模长×向量OA与向量OB的夹角的余弦函数值=-2”
设θ为向量OA与向量OB的夹角,
a,b分别为向量OA的模长,向量OB的模长.
则
a=b=2（等于圆的半径）.
若a^2+b^2=c^2,
即c/[(a^2+b^2)^(1/2)]=1,
即圆心O到直线l的距离为1.
即
2*sin(90°-θ/2)=1
所以
θ=120°
cosθ=-1/2
a×b×cosθ=2×2×(-1/2)=-2
证毕.
(2)逆命题：如果向量OA*向量OB=-2,那么a²+b²=c²
若a*b*cosθ=-2,
则cosθ=-0.5,θ=120°,
即圆心O到直线l的距离为：
2*sin(30°)=1；
根据点到直线距离公式
知圆心O到直线l的距离为：
c/[(a²+b²)^(1/2)]=1,即：
a²+b²=c²
证毕.