题目

从原点出发的某质点M,按a=（0,1）平移的概率为2/3,按b=（0,2）平移的概率为1/3,设可以到达（0,n）的概率为Pn（n为正整数）；求
第1步：P1,P2为多少
第2步：找出P（n+2）,P（n+1）,Pn的关系式,并证明数列{P（n+1）-Pn}成等比数列
第3步：求{Pn}的通项公式

提问时间：2021-02-25

答案

第一步：
P1=2/3
到达(0,2)可以有两种可能,一个是直接到,另一个是分两步
所以P2=1/3+2/3*2/3=7/9
第二步：
因为一共只有两种走法,所以Pn也只有两种可能
一种是P(n-1)再按a走,另一种是P(n-2)按b走
所以Pn=2/3*P(n-1)+1/3*P(n-2)
上式两边同减P(n-1)可以化为
Pn-P(n-1)=-1/3*P(n-1)+1/3*P(n-2)
=-1/3(P(n-1)-P(n-2))
所以,[Pn-P(n-1)]/[P(n-1)-P(n-2)]=-1/3
综上,因为以上的分析对于任意的n>2都适用,所以对于n>2恒有[Pn-P(n-1)]/[P(n-1)-P(n-2)]=-1/3
即对于n>=1恒有,[P(n+2)-P(n+1)]/[P(n+1)-Pn]=-1/3
{P(n+1)-Pn}是等比数列
第三步：
因为[P(n+2)-P(n+1)]/[P(n+1)-Pn]=-1/3
所以P(n+2)-P(n+1)=(-1/3)^n*(P2-P1)=1/3*(-1/3)^n
P(n+1)-Pn=1/3*(-1/3)^(n-1)
Pn-P(n-1)=1/3*(-1/3)^(n-2)
……
P3-P2=1/3*(-1/3)
将上述所有的等式左右相加
则可以得到
P(n+2)-P2=1/3*(-1/3)^n+1/3*(-1/3)^(n-1)+……+1/3*(-1/3)
=1/3(-1/3)[(1-(-1/3)^n)/(1+1/3)]
=1/3*(-1/4)(1-(-1/3)^n)
=-1/12[1-(-1/3)^n]
PS:(-1/3)^n即-(1/3)的n次方