题目

已知函数f（x）=x³-6x²+11x，其图象记为曲线C．
（1）求曲线C在点A（3，f（3））处的切线方程l；
（2）记曲线C与l的另一个交点为B（x₂，f（x₂）），线段AB与曲线C所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

提问时间：2021-02-25

答案

解（1）∵函数f（x）=x3-6x2+11x，∴f'（x）=3x2-12x+11，f'（3）=2，又f（3）=6，∴切线方程l为y-6=2（x-3），即y=2x．（2）曲线C与l的另一个交点为B（x2，f（x2）），∴y＝x3−6x2+11xy＝2x得B（0，0）∴S＝∫30(x...

（1）根据函数f（x）=x³-6x²+11x，对其进行求导，求其在x=3处的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）曲线C与l的另一个交点为B（x₂，f（x₂）），联立方程解出点B，

本题考点：定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，及定积分的运算，计算时要仔细，此题是一道基础题；