题目

分式1/a-b ,1/b-c ,1/a-c 的最简公分母是?

提问时间：2021-02-25

答案

解题思路：
首先论证三个分母同时相等的可能性,
再讨论两个分母相等但与第三个分母不相等的情况,
然后求最简公分母.
所谓“最简公分母”,就是三个分母的最小公倍数,通常在通分计算时使用.
假设a-b = b-c = a-c （先假设存在三个分母同时相等的情况）
解得,a=b=c
换言之,a-b = b-c = a-c = 0,这显然不成立,因为分母为零无意义.
所以,a-b 、 b-c 、a-c 不能同时相等
假设a-b = b-c,同时a-b≠a-c,b-c≠a-c （这是假设存在两个分母相等的情况）
解上述不等式组,得 2b=a+c,且b≠a,b≠c
这也是不成立的,因为当b≠a,b≠c时,两式相加为2b≠a+c
这与2b=a+c矛盾,
同理可得,b-c = a-c,b-c≠a-b,a-c≠a-b,或a-b= a-c,a-b≠b-c,a-c≠b-c均不成立
综上所述,a-b 、b-c 、a-c三个分母互不相等
题目这里应该还欠一个条件“a-b 、b-c 、a-c两两互质,即两两最大公约数为1”
这样才会有下面的结论：
所以,a-b 、b-c 、a-c的最小公倍数为(a-b)(b-c)(a-c)
即,分式1/(a-b) ,1/(b-c) ,1/(a-c)的最简公分母为(a-b)(b-c)(a-c)