题目

已知关于X的不等式（K^2+4K-5）X^2+4（1—K）x+3>0对任何实数X都成立,则关于x的方程3x^2+2√2(k-√2)x+k-8√10=0
A有两个相等的实数根
B有两个不相等的实数根
C无实根
D有无实根不确定

提问时间：2021-02-25

答案

令y＝（k^2＋4k－5）x^2＋4（1－K）x＋3,这显然是一条抛物线.
要使y＞0,即需要该抛物线在x轴的上方,∴该抛物线的开口向上,∴k^2＋4k－5＞0.
同时,该抛物线必须与x轴相离,即：（k^2＋4k－5）x^2＋4（1－K）x＋3＝0的判别式小于0.
由k^2＋4k－5＞0,得：（k＋5）（k－1）＞0,∴k＜－5,　或k＞1.······①
由（k^2＋4k－5）x^2＋4（1－K）x＋3＝0的判别式小于0,得：
16（1－k）^2－4×3（k^2＋4k－5）＜0,　∴4（k－1）^2－3（k－1）（k＋5）＜0,
∴（k－1）［4（k－1）－3（k＋5）］＜0,　∴（k－1）（k－19）＜0,
∴1＜k＜19.······②
由①、②得：1＜k＜19,即k∈（1,19）.
在k∈（1,19）上,考虑方程3x^2＋2√2（k－√2）x＋k－8√10＝0的判别式大小.
设它的判别式＝S.则S＝8（k－√2）^2－4×3（k－8√10）.
∴S/8＝（k－√2）^2－（3/2）［（k－√2）＋√2－8√10］
＝（k－√2）^2－（3/2）（k－√2）－（3/2）（√2－8√10）
＝［（k－√2）^2－（3/2）（k－√2）＋9/16］－9/16－（3/2）（√2－8√10）
＝［（k－√2）－3/4］^2－9/16－（3/2）（√2－8√10）.
∴2S＝16（k－√2－3/4）^2－9－24（√2－8√10）.
∴2S/3＝（16/3）（k－√2－3/4）^2－3－8√2＋64√10
＞（16/3）（k－√2－3/4）^2－3－8√2＋64√9
＝（16/3）（k－√2－3/4）^2＋3（－1＋64）－8√2
＝（16/3）（k－√2－3/4）^2＋63×3－8√2
＞（16/3）（k－√2－3/4）^2＋63√2－8√2
＝（16/3）（k－√2－3/4）^2＋55√2＞0.
∴S＞0.
∴方程3x^2＋2√2（k－√2）x＋k－8√10＝0有两个不相等的实数根.　即答案是B.