题目

两个矩阵相乘之后的新矩阵为什么小于等于这两个矩阵的最小值?即R(AB)

提问时间：2021-02-25

答案

有很多方法说明这个问题,这里告诉你其中一个
先知道三个事实
第一 初等变换不改变矩阵的秩
第二 初等行（列）变换,相当于左（右）乘一个可逆阵.
第三 一个秩为r,可以只通过行（列）变换变成主对角线上只有r个1,其它全是0的方阵（这里对角线不一定是把1排完了再来排0,有可能是 1,1,0,0,1的样子）
对于AB,我们对A进行行变换,使他对角线是只有1和0的阵C,即 C=QA,Q可逆
所以 A=Q逆C
同样,对B只做列变换,我们找一个可逆的P,和对角线上只有1和0的D,使
B=DP逆
那么AB = Q逆(CD)P逆
注意中间的CD相乘后,还是主对角线为1和0的阵,且1的个数在相乘后只会少,不会多.
所以相乘后的秩是减少的.