题目

99个连续自然数之和abcd,a、b、c、d皆为质数那么abcd 的最小值是多少?
答案是7227.要讲解为什么?

提问时间：2021-02-25

答案

99个连续自然数之和可以写为
n + (n+1) + (n+2) +...+ (n+98) = ( n + (n+98) ) * 99 / 2 )
= 99 * (n+49) // n=1,2,3 ...
= 99 * m // m=50,51,52 ...
可见这个 abcd 是 99 的倍数.那么 a+b+c+d 的和应该可以被 9 整除.
而 a,b,c,d 都是质数,只能在 2,3,5,7 这四个数里面选.结合 a+b+c+d 能被 9 整除,只能选 2 和 7,并且只能是 两个 2 两个 7.
2+2+7+7=18 能被 9 整除.（其它的都不行）
而 abcd = 99*m,m=50,51,52 ...至少大于 99*50.从2,2,7,7里面选,首位只能是 7.
所以 abcd 只可能是 7227,7272,7722 这三个数之一.其中 7272 不满足条件,不能被99整除.
最小的只能是 7227 （这时 m=73）.
当然最大数是 7722 （这时 m=78）.
10000以内应该只有这两个数满足题目条件.