题目
请问导数问题分类讨论的出发点究竟是自变量还是参数?
比如:设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(1)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.
(2)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
自己做题时倾向于根据题目对x的限制条件列、解不等式,在解不等式过程中分类讨论.但发现答案的讨论是以参数a为出发点的,不知道是怎么考虑的.
是我的思路走了弯路?还是我的思路也是正道,
困惑很久,还请老师指点迷津.
x=e∧(a-1)-1,解析显示得不对.
比如:设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(1)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.
(2)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
自己做题时倾向于根据题目对x的限制条件列、解不等式,在解不等式过程中分类讨论.但发现答案的讨论是以参数a为出发点的,不知道是怎么考虑的.
是我的思路走了弯路?还是我的思路也是正道,
困惑很久,还请老师指点迷津.
x=e∧(a-1)-1,解析显示得不对.
提问时间:2021-02-25
答案
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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