题目

定积分!旋转体的体积,正弦函数,0到2派内 ,绕与y轴平行的直线旋转一周（如x=-派）
定积分!
旋转体的体积,正弦函数,0到2派内 ,绕与y轴平行的直线旋转一周（如x=-派）,的体积.

提问时间：2021-02-25

答案

简单方法是用古鲁金第二定理,求出一拱的面积,再仿一个圆环的体积公式,即截面圆面积乘2πL,相当于把大圆环拉直成一个圆柱,其高就是2πL,L是截面圆心至圆环中心距离,因是绕Y轴,摆线形心肯定在中心轴线上,至于形心的纵坐标不予考虑.古鲁金第二定理在工程力学上非常有用处,古鲁金第二定理,图形面积A绕与它不相交的定直线L旋转而生成的旋转体的体积等于面积A与其重心所经过的的圆周长的乘积． dx=a(1-cost)dt,S=∫ [x1,x2]f(x)dx =∫[0,2π] a(1-cost)*a(1-cost)dt =a^2∫[0,2π] [1-2cost+(cost)^2]dt =a^2(t-2sint)[0,2π]-2a^2sint[0,2π]+(a^2/2)∫[0,2π](1+cos2t)dt =2πa^2+(a^2/2)(2π-0)+(a^2/4)sin2t[0,2π] =3πa^2,t=π时,为摆线的对称轴,形心在其上,至Y轴距离为πa,大圆周的周长为2π*πa=2π^2a,∴旋转体体积V=2π^2a*(3πa^2)=6π^3a^3.