题目

1.设x1为一元二次方程ax^2+bx+c=0的一个根,x2为方程-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1不等于x2,x1乘于x2不等于0,求证:方程a/2(x^2)+bx+c=0有一根介于x1与x2之间.
2.在空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且AE:EB=CF:FB=2,CG:GD＝3,过E,F,G作一平面交AD于H,求证：EH,FG,BD三线交与一点.

提问时间：2021-02-25

答案

1.证明：分别把x1,x2带入方程得：
ax1²+bx1+c=0,
-ax2²+bx2+c=0
即bx1+c=-ax1² ,bx2+c=ax2²
所以f(x1)f(x2)=（(a/2)x1²+bx1+c）·（(a/2)x2²+bx2+c）
=（(a/2)x1²- a x1²）·（(a/2)x1²+ax2²）
=（-3a²/4）·（x1 x2）²
因为a≠0,x1,x2≠0
即（-3a²/4）（x1 x2）²＜0
即f(x1)f(x2) ＜0
函数f(x)在两点x1,x2有：f(x1)f(x2)＜0
所以得出：f(x1) ＜0且f(x2)＞0 或f(x1) ＞0且f(x2) ＜0
可以得出函数f(x)在x1和x2之间,至少有一点交于X轴.
即可得出Δ=b²-2ac≥0
所以方程(a/2)x²+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间
2.证明 ∵AE:EB=CF:FB=2,∴EF‖AC.
∴EF‖平面ACD.而EF包含于平面EFGH,
且平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF‖GH.而EF‖AC,
∴AC‖GH.
∴AH:HD=CG:GD=3,即AH∶HD=3∶1.
（2）证明 ∵EF‖GH,且EF:AC=1:3,GH:AC=1:4,
∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH包含于平面ABD,
P∈FG,FG包含于平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.