题目

两个关于黄金分割数的问题
求证：
1.顶角为36度的等腰三角形,底边与腰之比等于黄金分割数.
2.正五边形的边与对角线之比等于黄金分割数.
3.在单位正方形中挖去一个小正方形,如果小正方形的面积等于剩下部分的面积的平方,则小正方形的边长为黄金分割数.

提问时间：2021-02-25

答案

不好意思,让你久等了.问题并不难,这都是我一个字一个字打的,不够详细,还请见谅.第一题,这是一个黄金三角形,设三角形ABC中,角A=36度,AB=AC,可以作出角ABC的平分线,交AC于D,容易证明三角形ABC和三角形BCD相似,所以有AB/BC=BC/CD,容易看出CD=AC-AD,AD=BD,AB=AC,所以AB/BC=BC/(AB-BC),化简整理得(BC/AB)^2+(BC/AB)-1=0,因为BC/AB为正值,所以得BC/AB=(-1+根号5)/2,约等于0.618.第二题,不妨设正五边形是ABCDE,连结BE、AC、AD,并且AC、AD分别交BE于F、G两点,容易得到AB=BG,AF=AG,BF=EG,利用角度关系容易得到三角形BAG相似于三角形AFG,所以得到BG/AG=AG/FG,由上边说的等量关系得BF^2=BF*FG+FG^2,两边同时除以FG^2,所以可以解得BF/FG=(1+根号5)/2,再利用AB/BE=BG/BE=(BF+FG)/(2*BF+FG)可以很容易得出AB/BE=(-1+根号5)/2,约等于0.618,得证.第三题,设挖去的小正方形的边长为a,根据题意得：a^2=(1-a^2)^2,因为0