题目
证明下列命题:
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
(1)若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数;
(2)可导的奇函数的导函数是偶函数.
提问时间:2021-02-24
答案
证明:(1)设f(x)的周期为T,则f(x)=f(x+T).
∴f′(x)=[f(x+T)]′=f′(x+T)•(x+T)′
=f′(x+T),即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同.…(5分)
(2)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴[f(-x)]′=[-f(x)]′.
∴f′(-x)•(-x)′=-f′(x).
∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)为偶函数 …(10分)
∴f′(x)=[f(x+T)]′=f′(x+T)•(x+T)′
=f′(x+T),即f′(x)为周期函数且周期与f(x)的周期相同.…(5分)
(2)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴[f(-x)]′=[-f(x)]′.
∴f′(-x)•(-x)′=-f′(x).
∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)为偶函数 …(10分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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