题目

1,在△ABC中,角A、B、C的对边为a,b,c,已知sin(B/2)=sin(A/2)*sin(C/2).
(1)求tan(A/2)*tan(C/2)的值
(2)求证a+c=3b
2,在△ABC中,角A、B、C的对边为a,b,c,且b,c是方程x^2-18x+60=0的两个根,A=60度.
（1）求a
（2）求sinB*sinC
（3）设角A平分线与BC交于D,求AD的长
《附：*为乘号,^为次方号》

提问时间：2021-02-24

答案

1.1
sin(B/2)=sin[(∏-A-C)/2]=cos(a/2+c/2)
=cos(a/2)cos(c/2)-sin(a/2)sin(c/2)
代入原式得:cos(a/2)cos(c/2)=2sin(a/2)sin(c/2)
故tan(A/2)*tan(C/2)=1/2.
1.2
利用正弦定理可得a=csinA/sinC ,b=csinB/sinC=csin(A+C)/sinC
要证明a+c=3b,即证明csinA/sinC + c=3csin(A+C)/sinC
简化后得sinA+sinC=3(sinAsinC+cosAcosC)
然后用万能公式代入此式,化简后将tan(A/2)*tan(C/2)=1/2代入,即可得等号两边是相等的,已验证可解,详细过程从略.
2.1
由方程可得:b+c=18 ,bc=60
由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-3bc=144 ,a=12
2.2
由正弦定理得sinB=bsinA/a ,sinC=csinA/a
sinB*sinC=bcsin^2A/a^2=(60×3)/(144×4)=5/16
2.3
过D点作两条分别垂直于b、c的辅助线
设AD长为 x ,则两条辅助线的长均为x/2
则x/(2sinB)+x/(2sinC)=12 ,可得
x(sinB＋sinc)/2sinBsinC=12
sinB+sinC=bsinA/a＋csinA/a=(b+c)sinA/a=3√3/4
将sinB+sinC与sinBsinC代入即得
x=40√3/3