题目

一个圆锥曲线求离心率问题
已知双曲线E的离心率为 e,左右焦点为F1.F2,双曲线焦距2c,抛物线C以F2为顶点,以F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点,满足：aPF2+cPF1=8a^2,求离心率e的值.

提问时间：2021-02-24

答案

分析：
本题可又充分利用圆锥曲线第二定义
设P(xo,yo)
数形结合知抛物线准线为:x1=3c
而双曲线右支准线为:x2=a^2/c
P点到抛物线准线距离为:
d1=x1-xo=3c-xo
点P到双曲线右准线距离为:
d2=xo-a^2/c
由圆锥曲线第二定义有
抛物线中|PF1|=d1=3c-xo
双曲线中:|PF2|/d2=e
即|PF2|=e(xo-a^2/c)=(c/a)xo-a
又a|PF2|+c|PF1|=8a^2
即(cxo-a^2)+(3c^2-cxo)=8a^2
整理有:3a^2=c^2,从而得双曲线离心率:e=sqrt(3)