题目

一道数学题,必有重谢
三角形ABC内任取一点G,连接AG,BG,CG分别与BC,AC,AB交与D,E,F,且向量AF=λFB,BD=μDC,CE=γEA,求证:μλγ=1

提问时间：2021-02-24

答案

这实际是塞瓦定理,塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1②
②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1