题目

证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)

提问时间：2021-02-24

答案

推荐：给你一个简单的证明方法：构造函数法.我们注意到：ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],于是我们根据不等两边通项构造函：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增,又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0.即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],现将x用1/n（>0）替换整理可得：1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)],并将此不等式n项累加得：1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/(2n+2),于是原命题得证!