题目

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，BD=

5

2

，求

AD

AO

的值．

提问时间：2021-02-24

答案

（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图1，连接OD．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°．又∵∠CBD=∠A，∴∠ADO+∠CDB=90°．∴∠ODB=90°．∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图1，连接DE．∵∠C=9...

（1）先断定直线BD与⊙O相切，再作证明：连接OD，由OA=OD，∠C=90°，得出∠A=∠ADO，∠CBD+∠CDB=90°，再由∠CBD=∠A，得出∠ADO+∠CDB=90°，∠ODB=90°，所以直线BD与⊙O相切；
（2）此题有两种解法：以解法一为例：连接DE，由∠C=90°，BC=2，BD=

5

2

，求出cos∠CBD的值，然后由AE是⊙O的直径，得到∠ADE=90°，cosA＝

AD

AE

．再由∠CBD=∠A，得到

AD

AE

=

BC

BD

=

4

5

，又因为AE=2AO，所以求

AD

AO

的值就容易了．

本题考点：切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评：本题考查了切线的判断与性质、圆周角定理、以及解直角三角形的知识，此题综合性较强，做起来要认真、仔细才行．