题目

设D是由不等式|x|+|y|≤1所确定的有界闭区域,求二重积分∫∫（|x|+y）dxdy

提问时间：2021-02-24

答案

区域|x|+|y|≤1关于坐标轴对称,被积函数中的y是奇函数,因此积分结果为0.
∫∫（|x|+y）dxdy
=∫∫|x|dxdy
由于函数 |x| 关于x和y均为偶函数,用两次偶函数性质
=4∫∫ x dxdy 积分区域为D1：|x|+|y|≤1的第一象限部分,因为是第一象限,所以绝对值可去掉
积分区域D1由x=0,y=0,x+y=1所围成
=4∫[0--->1]dx∫[0---->1-x] x dy
=4∫[0--->1] x(1-x) dx
=4∫[0--->1] (x-x²) dx
=4(1/2)x²-4(1/3)x³ [0--->1]
=2/3