题目

已知函数f(x)＝ x 3 －2ax 2 ＋3x(x∈ R )．
(1)若a＝1,点P为曲线y＝f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
(2)若函数y＝f(x)在(0,＋∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a．

提问时间：2021-02-24

答案

（1）a=1,∴f(x)=x^3-2x^2+3x
∴f(x)'=3x^2-4x+3
当x=2/3时,f(x)'有最小值,为5/3
此时P(2/3,38/27)
∴切线方程y-38/27=5(x-2/3)/3
化简得y=5x/3+8/27
（2）函数y＝f(x)在(0,＋∞)上为单调增函数
∴f(x)'=3x^2-4ax+3在(0,＋∞)大于等于0
若a>0,则在(0,＋∞)上f(x)'min=f(2a/3)'≥0,解得0