题目

微分的原理是什么
微分的原理我猜,是无限小的区间的值.
但很疑惑,怎么能知/推无限小的情况到底如何呢?这可不是拿显微镜去测啊!

提问时间：2021-02-23

答案

1.几何意义
在二次平面的一条曲线,我们可以考虑它在每一点的斜率的改变.
假设曲线的方程为y=f(x).在x=t时,y=f(t).曲线上的点A的坐标为(t,f(t)).考虑把t增大少许.当x=t+h时,y=f(t+h).曲线上点点的坐标为(t+h,f(t+h)).那么连起A和B的线的斜率就是
(f(t+h)-f(t))/h
当A和B的距离越来越小,也就是说h越来越接近0,那么AB就越来越接近曲线,也越来越接近曲线在A点的切线的斜率.在此,我们可以接入极限
lim (h->0) (f(t+h)-f(t))/h
这一点就是曲线在A点的切线的斜率.同时,这亦是微分的"first principle"
2.写法
一般我们考虑对f(x)微分时,会写df(x)/dx
3.性质
你可以尝试由first principle 得到下列性质
1.d/dx (x^n) = nx^(n-1)
2.d/dx (sinx) = cosx
3.d/dx (cosx) = -sinx
4.d/dx (tanx) = sec^2 x
等等
范例：由first principle证明 d/dx ( sinx) = cosx
d/dx ( sin x)
=lim h->0 (sin(x+h)-sinx)/h
=lim h->0 2cos[(2x+h)/2]sin[h/2]/h (和差化积)
=lim h->0 cos[x+(h/2)]sin[h/2]/(h/2)
=lim h->0 cos[x+(h/2)] * lim h->0 sin[h/2]/[h/2]
=lim h->0 cos[x+(h/2)]
=cosx
上面的 lim h->0 sin [h/2]/[h/2] 是一个很著名的结果,你可以试着证明.
4.链法则 ( Chain rule)
当我们考虑df(y)/dx 的时候,可以怎样做呢?
我们可以运用链法则
du/dx=du/dv * dv/dx
例子：
d/dx ( cos^2 x)
=d(cos^2 x)/d(cosx) * d(cosx)/dx
=2cos x * (-sinx)
=-2sinxcosx
上面就用到了链法则,这是细微分