题目

微积分-弧长与曲率的问题
求曲线r(t)=(lnt)i+2tj+t^2k 之单位切向量与法向量
并求出r(t)长度,其中t∈[1,e]
求曲线r(t)曲率
t^2代表t平方

提问时间：2021-02-23

答案

切向量就是dr(t)/dt = i/t + 2j + 2tk
它的长度是√(1/t² + 4 + 4t²) = 1/t + 2t
单位切向量就是i/(1+2t²) + 2tj/(1+2t²) + 2t²k/(1+2t²)
曲线只有法平面,没有单独的法向量
法平面方程是(x-x0)/t0 + 2(y-y0) + 2t0(z-z0) = 0
长度=∫(1,e)√(1/t² + 4 + 4t²) dt = lne + e² - ln1 - 1 = e²
曲率=|r'×r''|/|r'|³ = |{1/t,2,2t}×{-1/t²,0,2}|/(1/t + 2t)³ = 4/(t+2t²)