题目
∫dx/(1+√(1+x∧2))用第二积分法求
提问时间:2021-02-23
答案
∫ dx/[1 + √(1 + x²)]
= ∫ 1/[1 + √(1 + x²)] • [1 - √(1 + x²)]/[1 - √(1 + x²)] dx
= ∫ [1 - √(1 + x²)]/[1 - (1 + x²)] dx
= ∫ [1 - √(1 + x²)]/(-x²) dx
= -∫ 1/x² + ∫ √(1 + x²)/x² dx,令x = tanθ,dx = sec²θ,√(1 + x²) = √(1 + tan²θ) = √sec²θ = secθ
= 1/x + ∫ sec³θ/tan²θ dθ
= 1/x + ∫ secθcsc²θ dθ
= 1/x + ∫ secθ • (1 + cot²θ) dθ
= 1/x + ∫ cscθcotθ dθ + ∫ secθ dθ
= 1/x - cscθ + ln|secθ + tanθ| + C
= 1/x - √(1 + x²)/x + ln|x + √(1 + x²)| + C
= ∫ 1/[1 + √(1 + x²)] • [1 - √(1 + x²)]/[1 - √(1 + x²)] dx
= ∫ [1 - √(1 + x²)]/[1 - (1 + x²)] dx
= ∫ [1 - √(1 + x²)]/(-x²) dx
= -∫ 1/x² + ∫ √(1 + x²)/x² dx,令x = tanθ,dx = sec²θ,√(1 + x²) = √(1 + tan²θ) = √sec²θ = secθ
= 1/x + ∫ sec³θ/tan²θ dθ
= 1/x + ∫ secθcsc²θ dθ
= 1/x + ∫ secθ • (1 + cot²θ) dθ
= 1/x + ∫ cscθcotθ dθ + ∫ secθ dθ
= 1/x - cscθ + ln|secθ + tanθ| + C
= 1/x - √(1 + x²)/x + ln|x + √(1 + x²)| + C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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