题目

是否存在某个实数m，使得方程x²+mx+2=0和x²+2x+m=0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-02-23

答案

假设存在符合条件的实数m，且设这两个方程的公共实数根为a，则

a2+ma+2＝0     ① a2+2a+m＝0      ②

①-②，得
a（m-2）+（2-m）=0
（m-2）（a-1）=0
∴m=2 或a=1．
当m=2时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m=2舍去；
当a=1时，代入②得m=-3，
把m=-3代入已知方程，求出公共根为x=1．
故实数m=-3，两方程的公共根为x=1．

设两方程的公共根为a，然后将两方程相减，消去二次项，求出公共根和m的值．

本题考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．

考点点评：本题考查的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般情况是将两方程相减求出公共根，再求出其中的字母系数．