题目

已知(如图)抛物线y=ax2-2ax+3(a

提问时间：2021-02-23

答案

（1）抛物线的对称轴为直线x=-(-2a)/2a=1,
∵CE∥x轴,
∴CE=2×1=2,
∵CE：AC=2：10,
∴AC=10,
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标是（0,3）,
∴OC=3,
根据勾股定理,OA^2=AC^2-OC^2
=√(√10^2-3^2)=1,
所以,点A的坐标是（-1,0）；
（2）把点A坐标代入抛物线y=ax^2-2ax+3得,a（-1）2-2a×（-1）+3=0,
解得a=-1,
所以,抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（3）∵C（0,3）,CE∥x轴,对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为（2,3）,
设直线AE解析式为y=kx+b,
则-k+b=0,
2k+b=3,
解得k=1,b=1,
所以,直线AE的解析式为y=x+1,
∵点P的横坐标是m,
∴PF=（-m^2+2m+3）-（m+1）=-m^2+m+2,
∴S△AEF=S△APF+S△PEF,
=1/2（-m2+m+2）×（m+1）+1/2
（-m2+m+2）×（3-m）,
=-2m2+2m+4,
=-2（m-1/2）2+9/2,
所以,当m=1/2时,△AEF的面积最大,最大值为9/2；
（4）点C在以BD为直径的圆上．
理由如下：点D作DG⊥y轴于G,
∵y=-x^2+2x+3=-（x-1）^2+4,
∴顶点D（1,4）,
又∵点C（0,3）,
∴CG=DG=1,
∴∠1=45°,
令y=0,则-x^2+2x+3=0,即x^2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点B坐标为（3,0）,
∴OC=OB=3,
∴∠2=45°,
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°,
∴点C在以BD为直径的圆上．