题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+4在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）当x≥0时，曲线y=f（x）总在直线y=a²x-4上方，求a的取值范围．

提问时间：2021-02-23

答案

（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）有极大值，即f′（x）=0，
∴b=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
∴−

2

3

a≥1，即a≤−

3

2

．
∵曲线y=f（x）在直线y=a²x-4的上方，
设g（x）=（x³+ax²+4）-（a²x-4），
∴在x∈[0，+∝）时，g（x）≥0恒成立．
∵g′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令g′（x）=0，两个根为-a，

a

3

，且

a

3

＜0＜−a，

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴当x=-a时，g（x）有最小值g（-a）．
令g（-a）=（-a³+a³+4）-（-a³-4）＞0，
∴a³＞-8，由a≤−

3

2

，
∴-2＜a≤ −

3

2

．