题目

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=

|x|

；④f（x）=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（　　）
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④

提问时间：2021-02-23

答案

由等比数列性质知anan+2＝an+12，
①f(an)f(an+2)＝an2an+22＝(an+12) 2=f²（a_n+1），故正确；
②f(an)f(an+2)＝2an2an+2＝ 2an+an+2≠22an+1=f²（a_n+1），故不正确；
③f(an)f(an+2)＝

|an||an+2|

=

|an+1|2

=f²（a_n+1），故正确；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|an+1|2=f²（a_n+1），故不正确；
故选C

根据新定义，结合等比数列性质anan+2＝an+12，一一加以判断，即可得到结论．

本题考点：等比关系的确定．

考点点评：本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．