题目

已知点(1,1/3)是函数f（x）=a^x图象上一点,等比数列an的前n项和为f（x）-c,数列bn的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-S（n-1）=√Sn+√S（n+1）求：①数列an和bn的通项公式；
②若数列{1/bn*b（n+1）}的前n项和为Tn,问Tn>1000/2012的最小正整数 n是多少?

提问时间：2021-02-23

答案

1.
x=1 f(x)=1/3代入f(x)=a^x,解得a=1/3
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=f(n)-c-[f(n-1)-c]
=(1/3)ⁿ-(1/3)^(n-1)
=-2/3ⁿ
a(n+1)/an=[-2/3^(n+1)]/(-2/3ⁿ)=1/3
要a1是等比数列的项,则a2/a1=1/3
a1=3a2=3·(-2/3²)=-2/3
n=1时,S1=a1=f(1)-c
c=f(1)-a1=1/3-(-2/3)=1
S1=b1=c=1
算术平方根有意义,Sn≥0
n≥2时,
Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1) /这一步你抄错了,√S(n+1)应该是√S(n-1)
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]-[√Sn+√S(n-1)]=0
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-1]=0
√Sn+√S(n-1)>0,因此只有√Sn-√S(n-1)=1,为定值
√S1=√1=1,数列{√Sn}是以1为首项,1为公差的等差数列
√Sn=1+1×(n-1)=n
Sn=n²
n≥2时,bn=Sn-S(n-1)=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时,b1=2×1-1=1,同样满足通项公式
综上,得数列{an}的通项公式为an=-2/3ⁿ,数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
2.
1/[bnb(n+1)]=1/[(2n-1)(2(n+1)-1]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2(n+1)-1)]
Tn=1/(b1b2)+1/(b2b3)+...+1/[bnb(n+1)]
=(1/2)[1/(2×1-1)-1/(2×2-1)+1/(2×2-1)-1/(2×3-1)+...+1/(2n-1)-1/(2(n+1)-1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
Tn>1000/2012
n/(2n+1)>1000/2012
2012n>2000n+1000
12n>1000
n>250/3
n为正整数,n≥84,满足不等式成立的最小正整数n的值为84.
提示：本题的难点其实在第一问,第一问解决了,第二问秒秒钟解决.