题目

一直圆m的方程为(x+3)^2+y^2=100及定点n（3,0）,动点p在圆m上运动 线段pn的垂直平分线交圆m的半径mp于Q点,设点Q的轨迹为曲线c
1.求c的曲线方程
2 试问过点T（0,根号10）是否存在直线l,使直线l与曲线c交与a,b亮点 且向量OA·向量OB=0 （O为原点坐标）存在,求出L 不存在说明理由
TAT

提问时间：2021-02-22

答案

⑴椭圆
设圆心为R
∵Q是PN和圆的半径RP的交点
∴QN=QP
∴QR+QN=QR+QP=RP=10
即Q点到两个定点（-3,0）和（3,0）的距离之和为10（＞定点之间距离6）
∴为椭圆
方程为x^2/25+y^2/16=1
⑵假设存在这样的直线,
①当斜率不存在时,显然不符合题意
②设斜率为k,则直线方程可写为y=kx+√10
设A、B点坐标为（x1,y1）,(x2,y2)
联立化简可得（25k^2+16）^2+50√10kx-150=0
∴x1+x2=-50√10k/(25k^2+16)
x1x2=-150/(25k^2+16)
∴y1y2=（kx1+√10）（kx2+√10）=k^2x1x2+√10k(x1+x2)+10
∵向量OA·OB=0
∴x1x2+y1y2=0
代入可得