题目

在直角三角形abc中,角acb=45度,角bac=90度,ab=ac,点d是ab的中点,af垂直cd于h交bc于f,bc平行ac交af的

提问时间：2021-02-22

答案

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．
证明：在△ADC中,∠DAH+∠ADH=90°,∠ACH+∠ADH=90°,
∴∠DAH=∠DCA,
∵∠BAC=90°,BE∥AC,
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA,
∴在△ABE与△CAD中,
∠DAH=∠DCA
∠CAD=∠ABE
AB=AC

∴△ABE≌△CAD（AAS）,
∴AD=BE,
又∵AD=BD,
∴BD=BE,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,
故∠ABC=45°．
∵BE∥AC,
∴∠EBD=90°,∠EBF=90°-45°=45°,
∴△DBP≌△EBP（SAS）,
∴DP=EP,
即可得出BC垂直且平分DE．