题目

试求三直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0构成三角形的条件．

提问时间：2021-02-22

答案

任二直线都相交，则

a

1

≠

1

a

且 

a

1

≠1，∴a≠±1．
由于三直线不共点，故

x+ay+1＝0 x+y+a＝0

 的交点不在ax+y+1=0上，即a（-1-a）+1+1≠0，即 a²+a-2≠0，即（a+2）（a-1）≠0，
解得 a≠-2，且 a≠1．
综合上述结果，此三直线构成三角形的条件是a≠±1，且a≠-2．

由题意可得任二直线都相交，故有

a

1

≠

1

a

且

a

1

≠1，求得a的范围．再由 

x+ay+1＝0 x+y+a＝0

的交点不在ax+y+1=0上，可得a（-1-a）+1+1≠0，由此求得a的范围．综合上述结果，可得此三直线构成三角形的条件．

本题考点：方程组解的个数与两直线的位置关系；直线的斜率；三点共线．

考点点评：本题主要考查两条直线相交的条件，体现了转化的数学思想，属于基础题．