题目

已知向量a=（x,y + 根号3）,向量b=（x,y - 根号3）,且/a/+/b/=4
过点Q（0,1）做直线L与曲线C交于A,B两点,设向量OP=向量OA+向量OB（O为原点）,问是否存在这样的直线L,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线L的方程.若不存在,说明理由.

提问时间：2021-02-22

答案

请问和向量a b 有何关系,提问应该把问题说清楚
此题漏了:(x,y)是曲线c上的点
由 /a/+/b/=4得
√[x^2+(y+√3)^2]+√[x^2+(y-√3)^2]=4
由椭圆定义知 曲线C 是 c=√3 a=2 的椭圆 方程为:
x^2/4+y^2=1 ..(1)
设L的方程为 y-1=kx .(2)
设 A (s,t),B (p,q)
OP=(s+p,t+q) 则 P(s+p,t+q)
得BP=(s,t) 所以 OA=BP OAPB是平行四边形
(2)带入(1)得(1+k^2)x^2+8kx=0,由韦达定理得
s=0 p=-8k/(1+k^2)
t=1 q=1-8k^2/(1+k^2)
若OAPB是矩形 ,则 OA垂直OB ,所以
OA*OB=0 即 sp+tq=0
OA*OB=sp+tq=1-8k^2/(1+k^2)=0
1-8k^2=0 k=√2/4 或k=-√2/4
所以存在L :y=√2/4x +1 和y=-√2/4x+1使得四边形OAPB是矩形