题目

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

提问时间：2021-02-22

答案

（1）当n=1，时S₁+a₁=2a₁=3
∴a₁=

3

2

        当n=2时，S₂+a₂=a₁+a₂+a₂=5
∴a₂=

7

4

，
同样令n=3，则可求出a₃=

15

8

∴a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

15

8

猜测a_n=2-

1

2n

（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-

1

2k

，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-

1

2k

，即a_k+1=2-

1

2k+1

，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N⁺，a_n=2-

1

2n

都成立．