题目

已知函数f(x)=2x^3+px+r,g(x)=15x^2+qInx (p,q,r∈R)
1、当r=-35时,f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p,q的值
2、已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x1和x=x2 (x1不等于x2) 处取得极小值,求(x1+x2)/x1x2的取值范围.

提问时间：2021-02-22

答案

已知函数f(x)=2x³+px+r,g(x)=15x²+qInx (p,q,r∈R)
1、当r=-35时,f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p,q的值
2、已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x₁和x=x₂(x₁≠x₂) 处取得极小值,求(x₁+x₂)/x₁x₂的取值范围.
1.f′(x)=6x²+p,f′(1)=6+p,f(1)=2+p+35=37+p,故过f(x)上的点(1,37+p)的切线方程为：
y=(6+p)(x-1)+37+p.(1)
g′(x)=30x+q/x,g′(1)=30+q,g(1)=15,故过g(x)上的点(1,15)的切线方程为;
y=(30+q)(x-1)+15.(2)
(1)和(2)是同一条直线,∴6+p=30+q,即有q=p-24.(3)；37+p=15,故p=-22；q=-46
此时(1)和(2)变成同一条直线：y=-16(x-1)+15=-16x+31.
2.h(x)=f(x)-g(x)=(2x³+px+r)-(15x²+qlnx)=2x³-15x²+px-qlnx+r
令h′(x)=6x²-30x+p-q/x=0.(4)
已知h′(1)=6-30+p-q=-24+p-q=0,故p-q=24.(5)
h(1)=2-15+p+r=-13+p+r=-13,故p+r=0.(6)
由(4)得6x³-30x²+px-q=0,x=1是其根,故配方得：
6x³-30x²+px-q=6x²(x-1)-24x(x-1)-(24-p)(x-1)+p-24-q=(x-1)(6x²-24x-24+p)=0(∵p-q-24=0)
于是得6x²-24x-24+p=0.(7)
(7)有相异二实根,故其判别式Δ=576-24(-24+p)=1152-24p>0,即有p1.