题目

某小型工厂安排甲乙两种产品的生产，已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料A、B、C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：

原材料	甲（吨）	乙（吨）	资源数量（吨）
A	1	1	50
B	4	0	160
C	2	5	200

如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？

提问时间：2021-02-21

答案

设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．　　（2分）
依据题意，得目标函数为z=300x+200y，（4分）
约束条件为

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

．　　　　　　　　　　　　（8分）
欲求目标函数z=300x+200y的最大值．
先画出约束条件的可行域，求得有关点A(40，0)、B(40，10)、C(

50

3

，

100

3

)、D(0，40)，如图阴影部分所示．
将直线300x+200y=0向上平移，可以发现，经过可行域的点B时，函数z=300x+200y的值最大（也可通过代凸多边形端点进行计算，比较大小求得），最大值为14000（元）．　　　　（11分）
所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，工厂可获得的周利润最大（14000元）．（12分）

设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，抽象出约束条件

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

，所获周利润为z元，依据题意，得目标函数为z=300x+200y，，然后求得最优解，即求得利润的最大值和最大值的状态．

本题考点：简单线性规划．

考点点评：本题主要考查用简单的线性规划研究目标函数的最大和最小值，关键是通过平面区域，求得最优解，属于线性规划的应用题．