题目

已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任意一点，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，求证：EF=|AE-BF|．

提问时间：2021-02-21

答案

证明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE与△CBF中，

∠AEC＝∠BFC ∠CAE＝∠BCF AC＝BC

∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE-CF=BF-AE，
当AE＞BF时，如图，

同法可求EF=AE-BF，
即EF=|AE-BF|．

根据等腰直角三角形的性质得出∠CAE=∠BCF，又因为AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，根据AAS证明△ACE≌△CBF，根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．