题目

若x^2+y^2-2x+4y-20=0
1,若x^2+y^2-2x+4y-20=0,则x^2+y^2的最小值____5-√5______
2,从原点作圆x^2+y^2-2x=0的弦,则各条弦中点M的轨迹方程____x^2+y^2-x=0_______
3,若实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0,则x-2y的最大值___10_______
4,若点(1,1)到直线xcosθ+ysinθ=2的距离为d,则d的最大值_____2+√2______
5,过点(2,4)的直线与抛物线y^2=8x只有一个公共点,这样的直线有____2条________

提问时间：2021-02-20

答案

1、 (x-1)^2+(y+2)^2=25,设z=√（x^2+y^2）,根据拉格朗日乘数法求条件极值,
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-20,z=f(x,y)=√（x^2+y^）,,
x/√x^2+y^2)+λ（2x-2）=0,y/(√x^2+y^2)+λ（2y+4）=0,
λ=-x/ √(x^2+y^2)(2x-2),λ=-y/(x^2+y^2)(2y+4),-x/(2x-2)=-y/(2y+4),y=-2x,x^2-2x-4=0,x=1±√5,y=-2-2√5,或y=-2+√5,z=√[(1+√5)^2+(-2-2√5)^2]=√(30+10√5)= √(25+2*5*√5+5)=5+√5,
z=√(1-√5)^2+(-2+2√5)^2=√(30-10√5)= √(25-2*5*√5+5)=5-√5,相比应取5-√5,从空间几何角度解释一下,z=√（x^2+y^2）是一个顶点在原点,开口向上且不断扩大的旋转体,而x^2+y^2-2x+4y-20=0是圆心在（1,-2,z）的圆柱面,它们有一个最低的交点,就是z=5-√5.
2、设弦中点坐标为M(x,y),则弦另一端坐标为P（2x,2y）,P点在圆上,它就在满足方程,（2x）^2+(2y)^2-2(2x)=0,4x^2+4y^2-4x=0,化简得：x^2+y^2-x=0.各条弦中点M的轨迹方程是x^2+y^2-x=0.
3、根据拉格朗日乘数法求条件极值,设z=（x^2+y^2）,
φ(x,y)=x^2+y^2-2x+4y,2x +λ（2x-2）=0,
2y+λ（2y+4）=0,
消去参数λ,5x^2-10x=0,x=0或x=2,y=0或y=-4,x=0,y=0不符合题意,x=2,y=-4,代入x-2y 得10,这是一个极大值,从空间几何角度解释一下,z=（x^2+y^2）是一个顶点在原点,开口向上且不断扩大的旋转体,而z=-2x+4y是通过原点的平面,它与与旋转面有一个最高交点,故有一个极大值,即为10.
4、根据点至直线距离公式：d=| xcosθ+ysinθ-2|/√[（cosθ）^2+(sinθ)^2]= | xcosθ+ysinθ-2|=|√2[sin（π/4）cosθ+cos（π/4）sinθ-2|=|√2sin(θ+π/4)-2|,-√2≤√2sin(θ+π/4)≤√2,要使绝对值最大,应取-√2,d=|-√2-2|=2+√2.d的最大值是2+√2.
5、过点(2,4)的直线与抛物线y^2=8x只有一个公共点,即是抛物线的切线,y=±2√(2x),先对正值研究,y’=-√2（x）^(-1/2),而点P（2,4）在抛物线上（正分支）,导数是切线的斜率,y’=-1,y-4=-(x-2),y=-x+6,而点（2,4）还可对负分支抛物线作一切线,y’=√2（x）^(-1/2),故应有二条这样直线.
因不支持公式编辑器,偏导符号无法打进.