题目

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q的面积；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量

OA

+

OB

与

PQ

共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-02-20

答案

（Ⅰ）圆的方程可化为（x-6）²+y²=4，可得圆心为Q（6，0），半径为2，故圆的面积为4π．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，将直线方程代入圆方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）]²-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）>0，
解得-

3

4

<k<0，即k的取值范围为(-

3

4

  ，0)．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，由方程①得，
x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②，又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4 ③，而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
所以，

OA

+

OB

与

PQ

共线等价于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），将②③代入上式，解得k=-

3

4

．
由（Ⅱ）知k∈(-

3

4

，0)，故没有符合题意的常数k．

（Ⅰ）把圆的方程化为标准形式，求出半径，即可求得圆的面积．
（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求得k的取值范围．
（Ⅲ） 设出A，B的坐标，用条件向量

OA

+

OB

与

PQ

共线可得解得k＝−

3

4

，由（Ⅱ）知k∈(−

3

4

，0)，故没有
符合题意的常数k．

本题考点：直线与圆相交的性质；向量在几何中的应用．

考点点评：本题考查直线和圆相交的性质，以及向量在几何中的应用，如何应用条件向量

OA

+

OB

与

PQ

共线，是解决问题的关键．