题目

已知半径为1的圆m在x正半轴上 且直线l8x-6y-3=0 截的弦长为√3
求圆m的标准方程
设点p（x.y）在圆m上运动 求y＋1╱2x＋4 的最大值

提问时间：2021-02-20

答案

(1)设圆心O的坐标为(a,0),a＞0.O到弦的距离为
h=√[1²-(√3/2)²]=1/2
又 h=|8a-0-3|/√(8²＋6²)=|8a-3|/10
所以 a = 1,即圆心为(1,0)
圆的方程为
(x-1)²＋y²=1
(2)设Op与x轴正向夹角为α,α∈[0,2π]
p点坐标可表示为(cosα＋1,sinα)
令 z = y＋½x＋4
= sinα＋½cosα＋9/2
把z对α求导,得
z'=cosα-½sinα
令z'=0,得sinα=2cosα
又sin²α＋cos²α=1
解得 sinα=2/√5,cosα=1/√5 或 sinα=-2/√5,cosα=-1/√5(舍)
所以最大值为
zmax=2/√5＋½×1/√5＋9/2
= (9＋√5)/2