题目

急 (25 10:45:53)
已知锐角△ABC的三个内角A.B.C对边分别是a,b,c,a+b／cosA+cosB=c／cosC
（1）求证；角A,C,B成等差数列
（2）若角A是锐角△ABC的最大内角,求cos(B+C）＋√3sinA的取值范围
（3)若△ABC的面积S△ABC＝√3,求△ABC的最小值

提问时间：2021-02-20

答案

(1)
化简(a+b)／(cosA+cosB)=c／cosC
(a+b)cosC=c(cosA+cosB)
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
(sinA+sinB)cosC=sinC(cosA+cosB)
sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB
sinAcosC-sinCcosA=sinCcosB-sinBcosC
sin(A-C)=sin(C-B)
此时可能有A-C=C-B、A-C=180°-(C-B)两种情况
(A-C)=180°-(C-B)时化简得A-B=180°,这很显然是荒谬的
所以只能有A-C=C-B
所以角A,C,B成等差数列
(2)
化简cos(B+C)＋√3sinA
cos(B+C)＋√3sinA
=cos(180°-A)+√3sinA
=√3sinA-cosA
=2*[(√3/2)sinA-(1/2)cosA]
=2*(cos30°sinA-sin30°cosA)
=2*sin(A-30°)
由(1)问A-C=C-B
并且A+B+C=180°
所以C=60°
A是△ABC的最大内角,△ABC为锐角三角形
则60°≤A＜90°
则30°≤A-30°＜60°
则1≤2*sin(A-30°)＜√3
(3)
S△ABC＝(1/2)absinC=√3
由(2)问C=60°
则ab=4
由余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-4≥2ab-4=4
则c²≥4
c≥2
仅当a=b时c取最小值2
又a+b≥2√(ab)=2√4=4
仅当a=b时a+b取最小值4
∵a+b与c都是在a=b时取最小值,所以同时取最小值时不矛盾
∴a+b+c≥4+2=6
△ABC的周长最小值为6