题目

请问：三棱锥五条棱长都是5,另一条棱是6,则它的体积是多少?
请告知具体步骤.

提问时间：2021-02-20

答案

记三棱锥为A-BCD,其中CD为6,过A向平面BCD作垂线,交平面BCD于E.
因为BE^2=AB^2-AE^2,CE^2=AC^2-AE^2,DE^2=AD^2-AE^2,又已知：AB=AC=AD=5
所以BE=CE=DE,所以E是三角形BCD的外心,
记F为BE的延长线与CD的交点,因为E是三角形BCD的外心,所以,BF是CD的中垂线,计算得：BF=4.
设BE=CE=DE=X,EF=BF-BE=4-X,
在Rt三角形DEF中,DE^2=EF^2+DF^2,所以X^2=(4-X)^2+3^2
解得：X=25/8
即BE=25/8,AE=根号下（AB^2-BE^2）=5(根号39)/8
V A-BCD=AE.S三角形BCD/3=5(根号39)/8.4*6/2*1/3
=5(根号39)/2