题目

极坐标系与参数方程的互化
出几道题目：1.曲线C参数方程x=2sin&-cos&+1 y=sin&+2cos&-2 (1)证明曲线C是圆,并求出圆心和半径；（2）无论实数a取何值,直线x-ay=a与圆相交
2.选取适当的参数,将下列普通方程化为参数方程（1）X-XY+4=O
(2)X^2+4Y^2-2X-3=O

提问时间：2021-02-20

答案

先看第一题
（1）
x-1=2sin&-cos&
y+2=sin&+2cos&
那么
(x-1)^2+(y+2)^2=(2sin&-cos&)^2+(sin&+2cos&)^2=5
即说明了曲线C是圆,方程是(x-1)^2+(y+2)^2=5
圆心是(1,-2),半径为√5.
（2）
要使直线x-ay=a与圆相交,那么方程组
x-ay-a=0
(x-1)^2+(y+2)^2-5=0
有实数解.
把①式带入②式得
(a+ay-1)^2+(y+2)^2-5=0
整理得
(a^2+1)y^2+(2a^2-2a+4)y+(a^2-2a)=0
该方程的Δ=16a^2-8a+16=16(a-1/4)^2+15>0
方程恒定有实数解,那么方程组也有解
即直线与圆一定相交.
再看第二题
（1）
x不能为0
那么参数方程可以为
x=1/t
y=(x+4)/x=1+4t
其中t为实数
（2）
方程组可化为
(x-1)^2+(2y)^2-4=0
((x-1)/2)^2+y^2=1
那么参数方程可以是
x=2+2cost
y=sint
t属于0到2pi
参数方程仅供参考,答案并不唯一.