题目

函数f（x）=-ax²+4x+1的定义域为[-1，2]，
（1）若a=2，求函数f（x）的值域；
（2）若a为非负常数，且函数f（x）是[-1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f（x）的值域．

提问时间：2021-02-20

答案

（1）当a=2时，f（x）=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3                    …（2分）
当x∈[-1，1]时，f（x）单调递增，当x∈[1，2]时，f（x）单调递减，
f（x）_max=f（1）=3，
又∵f（-1）=-5，f（2）=1，
∴f（x）_min=f（-1）=-5，
∴f（x）的值域为[-5，3]…（6分）
（2）当a=0时，f（x）=4x+1，在[-1，2]内单调递增，…（7分）
当a＞0时，f（x）=−a(x−

2

a

)2+1+

4

a

，…（8分）
又f（x） 在[-1，2]内单调
∴

2

a

≤−1或

2

a

≥2
∴-2≤a＜0或0＜a≤1
∵a＞0
∴0＜a≤1，此时函数在[-1，2]内单调递增
综上：当0≤a≤1时，f（x）在[-1，2]内单调递增，
∵f（x）_min=f（-1）=-a-3，f（x）_max=f（2）=-4a+9，
∴值域为[-a-3，-4a+9]
故a的取值范围是[0，1]，f（x）值域为[-a-3，-4a+9]-----（12分）