题目

在平面直坐标系中,O是坐标原点,直线Y=-3/4X+9与X轴,Y轴分别交于B,C两点,抛物线Y=-1/4X平方+BX+C
经过B,C两点,与X轴的另一个交点为点A,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向B运动,运动时间为T(T大于0且小于5）秒.（1）求抛物线的解析式及A点的坐标；（2）以OC为直径的圆G与BC交于点M,当T为何值时,PM与圆G相切?请说明理由；（3）在点P从点A出发的同时,动点Q从点B出发以每秒3 个单位长度的速度向点B运动,动点N从点C出发沿CA以每秒3倍根号10/5个单位长度的速度向点A运动,运动时间和点P相同.a、记三角形BPQ的面积为S ,S最大值是多少?b、是否存在三角形NCQ为直角三角形,若存在,求出相应的T值,若不存在,请说明理由.

提问时间：2021-02-20

答案

直线y=-3/4x+9与x轴,y轴分别交于B、C两点,求得B为(12,0)、C为(0,9),
（1）、将B、C两点的坐标代入抛物线方程y=-x^2/4+bx+c,得：
0=-12^2/4+12b+c,9=c,解得：b=9/4,c=9
抛物线的解析式为：y=(-x^2+9x+36)/4,
令y=0,解得：x=-3,x=12,
即A为(-3,0)；
（2）、由题意知圆G的方程为：x^2+(y-9/2)^2=81/4,与直线y=-3/4x+9相交,
求得交点M为(108/25,144/25),
对圆G的方程的方程求导得：y‘=2x/(9-2y),
点M处的切线斜率k=y’=(2*108/25)/(9-2*144/25)=-24/7,
所以切线的方程为：(y-144/25)=-24/7(x-108/25),即：y=-24/7x+144/7,
交x轴于P点,令y=0,解得：x=6,
由题意知：xp=xa+3t,得：t=(xp-xa)/3=(6+3)/3=3；
（3）、把题目完善一下,
（动点Q从点B出发以每秒3 个单位长度的速度向点B运动?）