题目

连续函数如何离散化以及如何求导
请问连续函数y(x)=a-(a-b)*(c*exp(-x/c)-d*exp(-x/d))如何手工推导进行离散化,并且求其离散后的一阶导数和二阶导数.

提问时间：2021-02-20

答案

我理解的"离散化"的表述应该是taylor展开.e^x展开是∑_{k>=0}x^k/k!.把-x/c和-x/d分别代入整理就得到
y(x)=a-(a-b)(c-d)-(a-b)∑_{k>=2}(1/c^{k-1}-1/d^{k-1})*(-x)^k/k!.
注意它没有一次项.一阶导
y'(x)=(a-b)∑_{k>=2}(1/c^{k-1}-1/d^{k-1})*(-x)^{k-1}/(k-1)!
=(a-b)∑_{k>=1}(1/c^k-1/d^k)*(-x)^k/k!.
二阶导
y''(x)=-(a-b)∑_{k>=1}(1/c^{k}-1/d^{k})*(-x)^{k-1}/(k-1)!
=-(a-b)∑_{k>=0}(1/c^{k+1}-1/d^{k+1})*(-x)^k/k!.