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题目
如图,直线y=kx+b与y轴的交点坐标为A(0,1),与x轴的交点坐标为B(-3,0);P、Q分别是x轴和直线AB上的一动点,在运动过程中,始终保持QA=QP;△APQ沿直线PQ翻折得到△CPQ,A点的对称点是点C.

(1)求直线AB的解析式.
(2)是否存在点P,使得点C恰好落在直线AB上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

提问时间:2021-02-20

答案
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,则
b=1
−3k+b=0

解得
b=1
k=
1
3

y=
1
3
x+1

(2)分三种情况考虑下
第一种情况(如图甲):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t+1,t).
∵点C落在直线AB上,
1
3
(t+1)+1=t
,解得t=2.即P的坐标为(2,0).
第二种情况(如图乙):设P的坐标为(t,0)
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称,并且点A,Q,C共线,
∴∠AQP=∠CQP=90°,
∵QA=QP,∴QA=QP=QC,
即△AQP,△CQP都是等腰直角三角形,
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形.
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC,
∴CH=OP=-t,PH=OA=1,
∴点C的坐标为(t-1,-t).
∵点C落在直线AB上,∴
1
3
(t−1)+1=−t
,解得t=−
1
2

即P的坐标为(
1
2
,0).
第三种情况(如图丙):
当点P与点B重合时,Q恰好是线段AB的中
点,此时点A关于直线PQ的对称点C与点A重
合,但A,P,Q三点共线,不能构成三角形,
故不符合题意.
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(2)当C恰好落在直线AB上时,PQ一定垂直于直线AB,可以分成P在x轴的正半轴以及在OB之间,和P在B点三种情况进行讨论,即可求解.

一次函数综合题.

本题考查了待定系数求函数的解析是,以及全等三角形的判定与性质,正确理解当C恰好落在直线AB上时,PQ一定垂直于直线AB,从而根据P的位置进行讨论是关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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