题目

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥

25

4

．

提问时间：2021-02-20

答案

因为已知a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2

ab

，
∴0＜ab≤

1

4

，
又(a+

1

a

)(b+

1

b

)＝

a2+1

a

⋅

b2+1

b

＝

a2b2−2ab+2

ab

＝

(1−ab)2+1

ab

≥

25

4

（取等号时a=b=

1

2

）
∴(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

即得(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥

25

4

．

首先分析题目已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（a+

1

a

）（b+

1

b

）≥

25

4

．可以考虑用基本不等式求得ab≤

1

4

，直接展开左侧，利用基本上的性质，求证(a+

1

a

)(b+

1

b

)−

25

4

≥0即可．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到基本不等式的应用和比较法证明不等式的思想，涵盖知识点少，有一定的计算量属于中档题目．