在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos2C/2+ccos2A/2＝3/2b．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积． - 超级试练试题库

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos

提问时间：2021-02-19

答案

（Ⅰ）acos2

+ccos2

＝

b，
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：
sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，
整理得：a+c=2b，
故a，b，c为等差数列；
（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：4²=a²+c²-2accos60°，
∴（a+c）²-3ac=16，
又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，
∴△ABC的面积S=

acsinB=

acsin60°=4

举一反三

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